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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 :sw)*eLr  
\- x`T"n  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ^R,(i!H*Q  
^VR4`!7q  
　　1、三角函数本质： is37[G  
f#9DyW 0  
　　三角函数的本质来源于定义 *='r.nN8  
Jrn}28\-  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 1vx-.a/d  
,ax_RDD*,Y  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 Tmxp  
gehS0&V3p  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： F_ @?Q15  
xn-t{{y  
　　推导： ;OE*ZA&.f  
AC<{q0nq7  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 s g mHB  
1 ONc:V*  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) &U*{MO> >  
No DWoMOgz  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 8~HzCI,>  
-!_ 7K  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 r0ngXFJ=S  
P0Y ':  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） c3Z}^S3  
ypPXm>(/  
　　[1] ^Gejr |Cm  
wqr0Efld  
　　两角和公式 2p0Pm;*#b  
`y&+Y?  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB SOORt%,  
ad'/= 6?  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  "Xx+B!  
{ y"&^  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB +?_"Lu }  
yW)$1?  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB L >?gPv  
hGiwyjL=u  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) )N5>x:  
~\cT`lT$;  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) nEG O[ M  
2)'a[?;  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  .byK/  
5JaB_3  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 2F`pq +*  
^( Wf;  
倍角公式 ax^+qtQ  
rTRFo<<%i*  
　　Sin2A=2SinA•CosA S5e8 Z~H=  
*)C9n{  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 * \bY 2  
m_L; m%$ [  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） z'z0xf  
+'p?t~T`(  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 6ZZCU3fu  
(:m /)n.l  
三倍角公式 &n#hSV"8t  
Fb^`'=  
　　 dK?:V!&#  
'.F^c|7v"  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) b6q](>x  
@3~h"lS=.*  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) V"_ } _  
XKD!b3a0  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) v9af2hA  
!9wvzz  
三倍角公式推导 NU<Q`hCM  
\`J'A\xN*|  
　　sin3a Gxh!CF T5  
2q+\RQ%:  
　　=sin(2a+a) Bq">0$h3  
{]]Zkn0  
　　=sin2acosa+cos2asina K&JUv8O  
 <&cjQ  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina v?k9DIX  
5+!zy:;\  
　　=3sina-4sin³a +%RQw A  
lgFx6iMk  
　　cos3a  v6o=C:  
%{i6qRq{  
　　=cos(2a+a) ?1us   
x]#P,Mmh<c  
　　=cos2acosa-sin2asina FFp4WRW  
=AMN?%+E]  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa HY (H|@Y  
2P4t@g*  
　　=4cos³a-3cosa g9Hf: k  
O/&h@ikm  
　　sin3a=3sina-4sin³a ?xFE=zI"  
 P 8zu&  
　　=4sina(3/4-sin²a) Rdy9?h61C;  
ij;LJpK2  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] .yTL0ak#  
P[mDL,8q  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) DDPXAW#   
RCYVP5.Y}  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) P| !{2  
>a@g1g#  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] Du&ej(Kk  
oc&OAH<  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) l`wuI%`@b  
isA`xyk  
　　cos3a=4cos³a-3cosa g<>\bq  
U=7Y+dz4  
　　=4cosa(cos²a-3/4) | R=gf>  
Z**=a De?k  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] QB|sY#;Q  
)Hk#D  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) `qi*C(S  
6!UNQ;>g  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) .QYG gd  
Y+#g^P/+  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} m5w ` 7  
;"cq~B&6  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) x(05nYINg'  
5g2e\ 5:  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] kA'  
p{fMOIX  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] _OC@PiX3!  
m<"n[x8/  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) '+;C5zE  
y?i,JTax8`  
　　上述两式相比可得 h0dJN-/Lbi  
6tZW~-A+"  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) h r,_]<A  
%;+J]nu8h  
半角公式 OI){ &4  
{f573@Y%1  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); wnaX^;D  
DC}a62o  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 8_Q%gK8i  
nnojh4s  
和差化积 aG* 7zWQ  
V_[=\}Bx#  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] tb $U=`;H  
V#m cp @5$  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] htj,P O  
FR8L!. +  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] NaBoMi'6  
X| &jn18^  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 4Ox;{ /t  
tk{&6oL$  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) UGk U,]Z  
iF BMx  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) A1fSI<}?H  
m`9T^N34MO  
积化和差 J ?&&4%S  
b0q7  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] [M@Mf. a  
paVz7%hn  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] > OS:QFe  
E=p~K(E8N  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] SD9fl^bh  
/,L )~J%?  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 0K\]"dq[  
;L&/vg[  
诱导公式 a~5UYE  
~O+aZHu6 v  
　　sin(-α) = -sinα ^L:6xmH  
=Ry=M+}  
　　cos(-α) = cosα 5cO: jw  
MPe/(3Xy  
　　sin(π/2-α) = cosα M`9^rYU  
jm .?Ql  
　　cos(π/2-α) = sinα ]rX7(>k  
JUcanU~'@  
　　sin(π/2+α) = cosα ~I{zX%>.+  
|pl'`S*` B  
　　cos(π/2+α) = -sinα ^ b5x#`?Y  
&X6wKv<  
　　sin(π-α) = sinα @N+ Mqn  
momDjtU  
　　cos(π-α) = -cosα }&([^Epan  
`QPy UZ  
　　sin(π+α) = -sinα 4!t'c1U  
x"?:g!8  
　　cos(π+α) = -cosα ym_@3VV[  
]/mj}WUN  
　　tanA= sinA/cosA n.8FkBC@z  
i^_RM9$  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα p"[_@.7?Z  
DQ1T\2H`vk  
　　tan（π/2－α）＝cotα 977,u`M~  
V*wjq+ :  
　　tan（π－α）＝－tanα ?eR\tn3F;  
$ tiAe5  
　　tan（π＋α）＝tanα {z]6f  
|di}: H  
万能公式 >mwKzP  
f]/A;s  
　　 >@8S(z:oc  
CK 8Wkc.*'  
其它公式 YWn :ntX6i  
JxSE6%9 ]  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 "O+?: ">7  
TYq}6gv/),  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ?vprs&\  
h oYVcX  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 E(q9:  
a{qDH/0}  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ic~@V*  
^OxZPy=~  
　　对于任意非直角三角形,总有 d0Hg1\9*  
=k7pR~#  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Rt!  q(\h  
tB2#,9qm  
　　证: J8>oeTzJ  
z7ps9}I``.  
　　A+B=π-C .QomGA  
Yr19 3c  
　　tan(A+B)=tan(π-C) :`S  ;l  
"5gM(S<!$  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) |9 DtJ  
SGV:)pK  
　　整理可得 FQ]/Mp A  
@'`lOfv  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC <!V}Ct945  
Z2=f[]K;  
　　得证 Y*UK|(1G  
[26KIa7M  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ^1B EFyq<  
}/V i]q`  
其他非重点三角函数 D4S&^H3'  
*Wyc id  
　　csc(a) = 1/sin(a) BOWtFze|k  
YNgx_yao  
　　sec(a) = 1/cos(a) ?/>LZkB  
j6R}YS.|  
　　 GSC 3 iL:^  
-P!&!VX  
双曲函数 jNJa;P}3  
NL4Ew^K  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 uq5uVDA#u  
24Az4H?  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 }R0)TB#@?  
[WG;-Nc-  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) [pe>nMD+  
AGeK, )yS  
　　公式一： ujdxTDA-E  
*9m!vKG  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： +h0OZ  
J6{(40CQ~  
　　sin（2kπ＋α）= sinα gs(kw!WT]  
15$v[wcGD  
　　cos（2kπ＋α）= cosα M01h}nXv  
@wG& sxq  
　　tan（kπ＋α）= tanα km@rvqf]  
S- z!@n"  
　　cot（kπ＋α）= cotα wJ"'AC,  
O  *>!  
　　公式二： t7/A|fvB  
w Xks  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 2g%W]Ca  
Ts6U.^jIN7  
　　sin（π＋α）= -sinα QJ%PL  
";h2)D`uc  
　　cos（π＋α）= -cosα N:u$HbkN  
^d.1vcb+  
　　tan（π＋α）= tanα 0[O:Q`G\  
,|DY[ vjf  
　　cot（π＋α）= cotα FGO" G$=qt  
y!oY:Vh#e  
　　公式三： CjJm(rrc~  
\8 1( i,  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： \$ "~ KP  
(E!NWY,GzT  
　　sin（-α）= -sinα NW;&Ez>  
ySv).E  
　　cos（-α）= cosα rGi5pF)B)  
42'`Wn|T(  
　　tan（-α）= -tanα 'Dg'l)`S*  
I6m-cwP;F  
　　cot（-α）= -cotα 9KqdYaTZ  
*CKafz  
　　公式四： tHo}kjSI  
Xd s>j+^  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： !4Ig},F  
0_.IH5JvD  
　　sin（π-α）= sinα UcL @UO  
J<("7`,!c  
　　cos（π-α）= -cosα !cVAe#/!  
u(.01"tp  
　　tan（π-α）= -tanα /%T3xP  
slAAitKw>  
　　cot（π-α）= -cotα ,O]6nps4b  
8Q1XM  
　　公式五： S-uE q!T  
 V<_7]  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： T2r-IDr9i  
DiwpNj.  
　　sin（2π-α）= -sinα ]AUj/',  
6j'HM$|]  
　　cos（2π-α）= cosα al|od\K_  
{aj HQp5#H  
　　tan（2π-α）= -tanα |~E?8k6  
``S#D4  
　　cot（2π-α）= -cotα 2~&q[nE8  
S J[F~D*n  
　　公式六： eM1|q6!q;  
00Hj-#e  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： @fGnaX;  
$l! r@aC;  
　　sin（π/2+α）= cosα A2mp]N ,  
lXlfx`d6  
　　cos（π/2+α）= -sinα 1-*P ;ek  
i+$x-G9  
　　tan（π/2+α）= -cotα ^b2+A'}QO  
pi3Vg]  
　　cot（π/2+α）= -tanα yDr\SOYQW  
1:THZP!   
　　sin（π/2-α）= cosα + \,UbQS>(  
z0rk:Y"]  
　　cos（π/2-α）= sinα xU x,'e  
j Z z"/x"  
　　tan（π/2-α）= cotα 8,8xeq==  
_6;+uB  
　　cot（π/2-α）= tanα v*p F  
%}^3(p3|)/  
　　sin（3π/2+α）= -cosα :[Vk2"V9$  
h 2{{ !@  
　　cos（3π/2+α）= sinα o|5eU :  
OR$1eR6+-  
　　tan（3π/2+α）= -cotα {.S^oOAD  
chT*ONO  
　　cot（3π/2+α）= -tanα _!a5 ]`X  
Dvu)&h  
　　sin（3π/2-α）= -cosα qYfcj*  
kIK}u;  
　　cos（3π/2-α）= -sinα F& Cp( xjr  
>Y%dnZ;}/5  
　　tan（3π/2-α）= cotα 8(~S:7q  
z Mq qLQ  
　　cot（3π/2-α）= tanα 5Uk[$6>P  
% d 1a8jB  
　　(以上k∈Z) r1zuUV  
SlpR$ V  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 <;W.7c  
m %HzvJ  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 1f>l!)l  
{oyXO}W  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } CSL]Tz}  
77@  ,A  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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