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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 .PDb |l)r  
+#viPA  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ^,g0'j_s  
@e=a<[>{;  
　　1、三角函数本质： 1l$({~``$z  
80D)%!1  
　　三角函数的本质来源于定义 kU3|X/ek'4  
#w7jy8},  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Ur\VkC0  
W1%']=_  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 q/VxaYP  
vh][$K Bk  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 5pDAf6R  
@~+?@6^VU  
　　推导： Rrfc2pG  
v`(OB}I{  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 94g Q[v  
GWM2Yxc'Y  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) }I/o);`  
~9Y en[G  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 8% 8h  
NjfHyM<"  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 7Y^nz~%Z  
YX^@'$$-  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） f8x[o?&|  
}tKcsWz 2  
　　[1] N&VUVGy+  
9@,AQ=$y  
　　两角和公式 5v> jNI^f  
"z y9Suj  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ^>wGOkw  
'<\4P5oS:  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  rb( 3uKXT^  
g:%o|(3Cy  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB nz;}F#P  
1qDST.a  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB U{ ,[9  
uM]i2w{u  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Qq^^ymV  
["eaFs=CH  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) H[tP K#^  
F00+"SB  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  wI> K{RT  
k3E{@z07  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ^+6..t1#I  
rd8Nq2NC  
倍角公式 $DkKu&M  
&Ci}`@ ]  
　　Sin2A=2SinA•CosA Ik0iJV*a  
fMo7j,qT  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 PT 9C  
$"/<7AM<O  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） !~ws3~*[  
#3t@.-nhL=  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） >L+63b  
L9k  
三倍角公式 y_8W  
pO ,wrr  
　　 Qz}@5(  
Be7bU~ FLb  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) S #{N(<C|  
+-?#'>z   
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) n)Up<=s  
y Dl|.W5V  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ;FaOQSO  
Pd=o.  
三倍角公式推导 :"*>R4hq  
9*07M/  
　　sin3a t#:$8J5;i{  
Ib 3/ 1  
　　=sin(2a+a) \O\&:5  
w2VN3$TZ  
　　=sin2acosa+cos2asina dj=c+v<(G  
xiwdjWO`2)  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina .$/#G  
uw6*@\  
　　=3sina-4sin³a %4UQN3WCD  
i=q;e(  
　　cos3a !B1oQ  
8oRW$ =  
　　=cos(2a+a) BV[-mM%-  
puO~ehd  
　　=cos2acosa-sin2asina `x_II",v  
:?p> Y>p  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa )>_S#!zO  
$l.9(r   
　　=4cos³a-3cosa ykBu  
XVsHtJZK`  
　　sin3a=3sina-4sin³a xhEWz7#c  
=pH.C2.x  
　　=4sina(3/4-sin²a) g~|0y(#s  
ow& Y  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] SX-b*#}<N  
\uc+-<q  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ATycpc?vI  
GjR*{WhT  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) x''g2rP-o  
5|^J,3#)  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] zB%,l>geN4  
Q";Tfs~&*  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) -:V  
 ^:#-k  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 49#X P{ub\  
f2[E}.Dco  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 9Xne4.0  
%/@Jj+   
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] R+3Qa.gYR  
*goAs9|sOv  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) %w~5'S  
}^JdktM  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) gEUq[5  
I ;BgcF'  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} @M1Ltqp3s  
MkHq 9+  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ,Xm7&mAk  
Yg_Dv2}  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 2<h,  
_rT=Gy0y9  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] wdhEU*  
i[c2k%r!M  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) *[,igPEJEI  
.67 h$`3  
　　上述两式相比可得 )ok"[:<]e  
3:fiO+  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) My ]HWMb  
y"J  Bl  
半角公式 fDs3y)/CIB  
-!(K[.j'"\  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); o+%R#<  
NBwk2  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 3UN3=F}-  
>&@)[$$@Z  
和差化积 ?A~_|^,S  
KVFpPyA4W  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 9{(M,k-  
R OJwBJ^  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Q V~FC0?H  
:GeqV7ka~  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] -/&7]F[Ck  
8ZGSywB:  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] =K"mwS3  
Img5Wm6  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) o*-nZv6t  
Z-(6 5  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) nf@AR_z  
o1*]q*bL1  
积化和差 K`@}.""|4  
*Q2>^;  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] )lc <ZEo  
OWt=j64  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ?2a>N|  
[+nG3|lE  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] u hV\O+g  
a)Mtjy5 K  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] <Y oMmQ~}  
k\-{=p#*;  
诱导公式 hTzR`m:tZ  
.*Cru ]Z  
　　sin(-α) = -sinα gtYhS`oJ0/  
qv ejZ h  
　　cos(-α) = cosα =U43SI  
)1j&V0 Ik  
　　sin(π/2-α) = cosα  1T>vfre  
uLyNTj#  
　　cos(π/2-α) = sinα lz2A[8J#  
n *kl>!\;  
　　sin(π/2+α) = cosα n^t^2   
mV^JP%}  
　　cos(π/2+α) = -sinα BX|'R)Mi?  
e1{\E&`  
　　sin(π-α) = sinα ]&,9 r  
NNDz2Jl  
　　cos(π-α) = -cosα (#$G`"b  
I107!Y^  
　　sin(π+α) = -sinα j~(YG;  
 4f^aA  
　　cos(π+α) = -cosα z*2B ]n0  
iRezbT{h  
　　tanA= sinA/cosA !&')1R+]/  
#>7,my#b  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα (dy!Sk~r  
l>Q3 iU  
　　tan（π/2－α）＝cotα C>AMR J_  
[@WHr@s|&  
　　tan（π－α）＝－tanα \!RS Ph.  
ROHFIk   
　　tan（π＋α）＝tanα ;W2O0\6dR  
g)MJg't+rZ  
万能公式 (CBRN3  
L;R 9  
　　 l/}P F(7U  
2Vy2E"@  
其它公式 C u(H2reA  
 |r_dVj^  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 $W>};hF_+  
<q yj.67  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 g}m}6;sb  
e!" (R@]g  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 XGM\ YF  
| +ir<~B_  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 #%pj$V"^  
?$;4p  
　　对于任意非直角三角形,总有 nBz6eXhEq  
w(#Fxi],K  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC <DZi>?436  
; 3r:S._  
　　证: M^2X<yW  
]'N"K>0u+  
　　A+B=π-C U,]GH<~  
r9!QLyIh6  
　　tan(A+B)=tan(π-C) N);`1cF  
26E/3z)H  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) d kPgx$K  
E}MO`u   
　　整理可得 QZ@P]  
l ?I!   
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC .rDk<;dh  
962"aG O  
　　得证 Y=>C;Tz5  
 z.zV}~  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 +[iS2Qe  
n*0_[n!Y  
其他非重点三角函数 ihU *%P  
&?PwsCTF  
　　csc(a) = 1/sin(a) e5qV HI  
x4'A9Cyy  
　　sec(a) = 1/cos(a) &rE;8'W:A  
Q#(xr)(  
　　 "^ePNCfju  
Z5vzxm.t  
双曲函数 u:&c"@`  
F632  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 WR[<j(0U<  
t)A4/`  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 4 >[f.w  
3x-l*  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) >~4t&U|\  
P ag*6  
　　公式一： -t@L9J,  
)}ZK(]aWK  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： |,Zp4  
qU<0:F=  
　　sin（2kπ＋α）= sinα [v'Br\0  
~" Wp  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 0;Y`$`'&QM  
mlZ.edAtw  
　　tan（kπ＋α）= tanα /Pb+\vG-4U  
,o8VUx|x-  
　　cot（kπ＋α）= cotα  S Q,W"  
xkTnc1G  
　　公式二： ? ja\v  
wNH>fI  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： :0bYxUV  
LuCY$Q*y  
　　sin（π＋α）= -sinα fa9H;  
jiiG5 ;Zp  
　　cos（π＋α）= -cosα nUr {z>  
^lTo^f@0@  
　　tan（π＋α）= tanα @8'N;f@T  
aKN5h/5M~  
　　cot（π＋α）= cotα g5b@_I|x'  
j2ftthW  
　　公式三： Mo):{$Ns>  
`'fy\p  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： UJruW,jA  
l R `'-1r  
　　sin（-α）= -sinα hd} 5uw9  
) *% iEr  
　　cos（-α）= cosα [GeZo.EwD  
pAQi[' pA  
　　tan（-α）= -tanα (r-=-;a{  
:,V4D( -  
　　cot（-α）= -cotα }i_uc4;4.  
ec`W$UMM  
　　公式四： 3]\DK&  
`gUdSD\o4  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： HD1@<\R  
yiTg0'S  
　　sin（π-α）= sinα m q \/`~  
g,`rPk^pK  
　　cos（π-α）= -cosα zqB9`%u  
$Y0l2{%1{@  
　　tan（π-α）= -tanα ]3l?L;?Su  
-fxibp3R-  
　　cot（π-α）= -cotα 15m*=`Q  
c"p0'7P-  
　　公式五： TS cfDE/9  
r>kXJl.  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： &Lw K   
+7e6{Mt)  
　　sin（2π-α）= -sinα ,[E*\_:>  
qr,T   
　　cos（2π-α）= cosα $ki{Hx]U  
+>bTYj8  
　　tan（2π-α）= -tanα q6bZX]4d|  
<w5] j{H  
　　cot（2π-α）= -cotα mEm9 pr(  
d HG_WiV  
　　公式六： &h$l\"  
|##sKQ|  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： |P[0%Y  
]\W^sd"9l|  
　　sin（π/2+α）= cosα ZS5r<a72F=  
'(]']#yr  
　　cos（π/2+α）= -sinα ]"#ck_fJ~n  
,VDH1;  
　　tan（π/2+α）= -cotα ,dNW^-   
~z6:@ iyq  
　　cot（π/2+α）= -tanα R5J}h6$q  
Ku;t u+r6  
　　sin（π/2-α）= cosα /7QoUbaq]  
5V^p"g|Daw  
　　cos（π/2-α）= sinα Y7X W[S=a  
hLIQb-%$dP  
　　tan（π/2-α）= cotα =]LfEyQ  
2'8Zrwu  
　　cot（π/2-α）= tanα 9I9zXB6/  
Ui1 l  
　　sin（3π/2+α）= -cosα nxoQq{A-  
WZ}i?Qd0  
　　cos（3π/2+α）= sinα zhiTP:j_  
le07b6)J  
　　tan（3π/2+α）= -cotα XY)_>A E  
HUjPNV%1  
　　cot（3π/2+α）= -tanα h%.btOH'W"  
!U4"5:B  
　　sin（3π/2-α）= -cosα H 1jW@F  
ng/qa\e  
　　cos（3π/2-α）= -sinα n{/nV1%"&&  
NaQh[wR  
　　tan（3π/2-α）= cotα fTJ1773~~)  
WPo$A%nt  
　　cot（3π/2-α）= tanα B7wFd1  
wz(!B3:  
　　(以上k∈Z) O$i@YYn  
M^7Iv,I{x  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 '/@l@,g Uo  
# *0z  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ^'K86H  
p@%|T)S  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } K<DOdK>  
rFhNiZ  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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